Ejemplo 02 Elastica de Viga en voladizo con carga uniforme

Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente

Elastica de una viga en voladizo

Viga conjugada

Viga AB en voladizo, empotrada en el extremo A y con carga uniforme q

a) La ecuacion diferencial de la elastica es f_x” = M / Ei_z

E = Modulo de eleasticidad o de Young del material
Iz=Momento de inercia de la seccion

y como el momento M = q x² /2

podemos simplificar poniendo k= q/(2·E·I_z)

por lo que f_x” = k·x²

b) Pasamos de la segunda derivada a la primera, integrando la funcion anterior:

f_x’ = ∫ f_x” · ∂x = ∫ k· x² · ∂x = k (x³ /3 + C₁)

para encontrar C₁ tenemos en cuenta que f_x’ = 0 cuando x = L

con esto tenemos que (L)³ /3 + C₁ = 0 por lo que C₁ = - L³ / 3

asi que f_x’’ = k(x³ /3 + L³ / 3)

c) Por ultimo para encontrar la funcion de la elastica integramos la primera derivada:

f_x = ∫ f_x’ = ∫ k( x³ /3 - L³ /3) = k(x⁴ /12 - L³ x /3 + C₂ )

para encontrar C₂ tenemos en cuenta que f_x = 0 cuando x = L

L⁴ /12 - L³ L /3 + C₂ =0  C₂ = L⁴ /4

por lo que la ecuacion de la elastica sera:

k(x⁴ /12 - L³ x /3 + L⁴ /4 ) = q/(2·E·I_z) (x⁴ /12 - 4·L³ x /12 + 3·L⁴ /12)

f = q / (24 E I_z) · ( x⁴ - 4 L³ x + 3·L⁴)

d) A partir de esta ecuacion podemos calcular la flecha en cualquier punto x de la viga, por ejemplo, en la punta del voladizo que seria el punto de flecha maxima: para x= 0  f = f_max

f_max = q/(2·E·I_z) (x⁴ /12 - 4·L³ x /12 + 3·L⁴ /12) = q / (24 E I_z) · ( 3·L⁴ /12 ) = q L ⁴/ (8 E I_z)

f= q L ⁴/ (8 E I_z)