Curvatura y elastica de una viga flexionada

Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente

Elastica de una viga en voladizo

Viga conjugada

Curvatura y elastica en flexion

CURVATURA:

Por efecto del momento M la fibra se alargara s = s₁sֽ’ que corresponde a un alargamiento unitario ε = s/nn₁ (grafico a)

Por semejanza de los triangulos onn₁ ~ n₁s₁s’ tenemos que : s/nn₁ = y/r

Consideremos ahora una porcion infinitesimal de la seccion ∂A donde esta aplicada una fuerza infinitesimal ∂F (grafico b)

(Por la ley de Hook ∆L = Fuerza · L ongitud/ E · Area)

tenemos que ε = ∂F· 1 / E · ∂A (E = modulo de Young)

por lo que: ∂F· 1 / E · ∂A = y / r → ∂F = (y·E/r) ∂A

y el momento de las fuerzas en toda la seccion sera: M = ∫y ∂F = ∫(y² · E/r) ∂A →

M = (E/r) ∫ y² · ∂A = E·I_z/r

∫ y² · ∂A = Mom de inercia I_z

por lo que la curvatura sera: 1/r = M/(EI_z)

ELASTICA:

tan ∂θ = ∂s / r → ∂θ = ∂s / r → 1/r = ∂θ / ∂s

Por semejanza de triangulos: ∂x / r = ∂f / ∂x → 1/r = (∂f / ∂x) / ∂x = ∂²f / ∂x²

y como 1/r = M/(EI_z) La ecuacion diferencial de la elastica es ∂²f / ∂x² = M / Ei_z

y tambien se puede escribir asi f_x” = M / Ei_z