Elastica de viga cargada uniformemente

Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente

Elastica de una viga en voladizo

Viga conjugada

Ecuacion de la elastica de viga apoyada en sus extremos con carga uniforme

Elastica de viga cargada uniformemente

a) La ecuacion diferencial de la elastica es f_x” = M / Ei_z

y como el momento M = q L x /2 – q x² /2 = q/2 (Lx – x²)

podemos simplificar poniendo k= q/(2·E·I_z)

por lo que f_x” = k·(Lx – x²)

b) Pasamos de la segunda derivada a la primera, integrando la funcion:

f_x’’ = ∫ f_x” · ∂x = ∫ k·(Lx – x²) · ∂x = k(L x² /2 - x³ /3 + C₁)

para encontrar C₁ tenemos en cuenta que f_x’’ = 0 cuando x = L/2

con esto tenemos que k(L (L/2)² /2 - (L/2)³ /3 + C₁) = 0

por lo que L³ /8 - L³ /24 + C₁ = 0  C₁ = L³ /12

asi que f_x’’ = k(L x² /2 - x³ /3 + L³ /12)

c) Por ultimo para encontrar la funcion de la elastica integramos la primera derivada:

f_x’ = ∫ f_x’’ = ∫ k(L x² /2 - x³ /3 - L³ /12) = k(L x³ /6 - x⁴ /12 - L³ x /12 + C₂ )

para encontrar C₂ tenemos en cuenta que f = 0 cuando x = 0  C₂ = 0

por lo que la ecuacion de la elastica sera: f = q / (24 E I_z) · (2 L x³ - x⁴ - L³ x )

d) A partir de esta ecuacion podemos calcular la flecha en cualquier punto x de la viga, por ejemplo, en el centro que seria el punto de flecha maxima: para x= L/2  f = f_max

f_max = q / (24 E I_z) · (2 L (L/2 )³ - (L/2) ⁴ - L³ L/2 ) = q / (24 E I_z) · (L ⁴ /4 - L⁴/16 - L⁴ /2 ) =

q L ⁴/ (24 E I_z) · (1/4 - 1/16 - 1 /2 ) = q L ⁴/ (48 E I_z) · (1/2 - 1/8 - 1 ) =

- q L ⁴/ (48 E I_z) · (1/8 + 1/2 ) = - q L ⁴/ (48 E I_z) · (10/16 ) = - 5q L⁴/ (384 E I_z)

f= 5q L⁴/ (384 E I_z)