Viga conjugada: teoremas de Mhor

Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente

Elastica de una viga en voladizo

Viga conjugada

Viga conjugada

La viga CD conjugada de otra viga AB es una viga de iguales dimensiones y con una carga igual al diagrama de momentos flectores de AB. 

De esta definicion se deducen los 2 teoremas de Mhor para el calculo de flechas y elasticas.


Primer terorema de Mhor:
El angulo entre las tangentes en 2 puntos de una elastica = area A del diagrama de momentos de su viga conjugada entre esos puntos dividido por  E·Iz


2º teorema de Mhor:
La flecha en uno de los puntos indicados antes es igual al momento del area A respecto de ese punto dividido por E·Iz.

E = Modulo de elasticidad o modulo de Young
Iz = Momento de inercia de la seccion de la  viga 

Ejemplo 02 Elastica de Viga en voladizo con carga uniforme

Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente

Elastica de una viga en voladizo

Viga conjugada

Viga AB en voladizo, empotrada en el extremo A y con carga uniforme q

a) La ecuacion diferencial de la elastica es f_x” = M / Ei_z

E = Modulo de eleasticidad o de Young del material
Iz=Momento de inercia de la seccion

y como el momento M = q x² /2

podemos simplificar poniendo k= q/(2·E·I_z)

por lo que f_x” = k·x²

b) Pasamos de la segunda derivada a la primera, integrando la funcion anterior:

f_x’ = ∫ f_x” · ∂x = ∫ k· x² · ∂x = k (x³ /3 + C₁)

para encontrar C₁ tenemos en cuenta que f_x’ = 0 cuando x = L

con esto tenemos que (L)³ /3 + C₁ = 0 por lo que C₁ = - L³ / 3

asi que f_x’’ = k(x³ /3 + L³ / 3)

c) Por ultimo para encontrar la funcion de la elastica integramos la primera derivada:

f_x = ∫ f_x’ = ∫ k( x³ /3 - L³ /3) = k(x⁴ /12 - L³ x /3 + C₂ )

para encontrar C₂ tenemos en cuenta que f_x = 0 cuando x = L

L⁴ /12 - L³ L /3 + C₂ =0  C₂ = L⁴ /4

por lo que la ecuacion de la elastica sera:

k(x⁴ /12 - L³ x /3 + L⁴ /4 ) = q/(2·E·I_z) (x⁴ /12 - 4·L³ x /12 + 3·L⁴ /12)

f = q / (24 E I_z) · ( x⁴ - 4 L³ x + 3·L⁴)

d) A partir de esta ecuacion podemos calcular la flecha en cualquier punto x de la viga, por ejemplo, en la punta del voladizo que seria el punto de flecha maxima: para x= 0  f = f_max

f_max = q/(2·E·I_z) (x⁴ /12 - 4·L³ x /12 + 3·L⁴ /12) = q / (24 E I_z) · ( 3·L⁴ /12 ) = q L ⁴/ (8 E I_z)

f= q L ⁴/ (8 E I_z)

Curvatura y elastica de una viga flexionada

Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente

Elastica de una viga en voladizo

Viga conjugada

Curvatura y elastica en flexion

CURVATURA:

Por efecto del momento M la fibra se alargara s = s₁sֽ’ que corresponde a un alargamiento unitario ε = s/nn₁ (grafico a)

Por semejanza de los triangulos onn₁ ~ n₁s₁s’ tenemos que : s/nn₁ = y/r

Consideremos ahora una porcion infinitesimal de la seccion ∂A donde esta aplicada una fuerza infinitesimal ∂F (grafico b)

(Por la ley de Hook ∆L = Fuerza · L ongitud/ E · Area)

tenemos que ε = ∂F· 1 / E · ∂A (E = modulo de Young)

por lo que: ∂F· 1 / E · ∂A = y / r → ∂F = (y·E/r) ∂A

y el momento de las fuerzas en toda la seccion sera: M = ∫y ∂F = ∫(y² · E/r) ∂A →

M = (E/r) ∫ y² · ∂A = E·I_z/r

∫ y² · ∂A = Mom de inercia I_z

por lo que la curvatura sera: 1/r = M/(EI_z)

ELASTICA:

tan ∂θ = ∂s / r → ∂θ = ∂s / r → 1/r = ∂θ / ∂s

Por semejanza de triangulos: ∂x / r = ∂f / ∂x → 1/r = (∂f / ∂x) / ∂x = ∂²f / ∂x²

y como 1/r = M/(EI_z) La ecuacion diferencial de la elastica es ∂²f / ∂x² = M / Ei_z

y tambien se puede escribir asi f_x” = M / Ei_z

Elastica de viga cargada uniformemente

Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente

Elastica de una viga en voladizo

Viga conjugada

Ecuacion de la elastica de viga apoyada en sus extremos con carga uniforme

Elastica de viga cargada uniformemente

a) La ecuacion diferencial de la elastica es f_x” = M / Ei_z

y como el momento M = q L x /2 – q x² /2 = q/2 (Lx – x²)

podemos simplificar poniendo k= q/(2·E·I_z)

por lo que f_x” = k·(Lx – x²)

b) Pasamos de la segunda derivada a la primera, integrando la funcion:

f_x’’ = ∫ f_x” · ∂x = ∫ k·(Lx – x²) · ∂x = k(L x² /2 - x³ /3 + C₁)

para encontrar C₁ tenemos en cuenta que f_x’’ = 0 cuando x = L/2

con esto tenemos que k(L (L/2)² /2 - (L/2)³ /3 + C₁) = 0

por lo que L³ /8 - L³ /24 + C₁ = 0  C₁ = L³ /12

asi que f_x’’ = k(L x² /2 - x³ /3 + L³ /12)

c) Por ultimo para encontrar la funcion de la elastica integramos la primera derivada:

f_x’ = ∫ f_x’’ = ∫ k(L x² /2 - x³ /3 - L³ /12) = k(L x³ /6 - x⁴ /12 - L³ x /12 + C₂ )

para encontrar C₂ tenemos en cuenta que f = 0 cuando x = 0  C₂ = 0

por lo que la ecuacion de la elastica sera: f = q / (24 E I_z) · (2 L x³ - x⁴ - L³ x )

d) A partir de esta ecuacion podemos calcular la flecha en cualquier punto x de la viga, por ejemplo, en el centro que seria el punto de flecha maxima: para x= L/2  f = f_max

f_max = q / (24 E I_z) · (2 L (L/2 )³ - (L/2) ⁴ - L³ L/2 ) = q / (24 E I_z) · (L ⁴ /4 - L⁴/16 - L⁴ /2 ) =

q L ⁴/ (24 E I_z) · (1/4 - 1/16 - 1 /2 ) = q L ⁴/ (48 E I_z) · (1/2 - 1/8 - 1 ) =

- q L ⁴/ (48 E I_z) · (1/8 + 1/2 ) = - q L ⁴/ (48 E I_z) · (10/16 ) = - 5q L⁴/ (384 E I_z)

f= 5q L⁴/ (384 E I_z)