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miércoles, 3 de junio de 2020

Viga conjugada: teoremas de Mhor




Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente


Viga conjugada



La viga CD conjugada de otra viga AB es una viga de iguales dimensiones y con una carga igual al diagrama de momentos flectores de AB. 

De esta definicion se deducen los 2 teoremas de Mhor para el calculo de flechas y elasticas.


Primer terorema de Mhor:
El angulo entre las tangentes en 2 puntos de una elastica = area A del diagrama de momentos de su viga conjugada entre esos puntos dividido por  E·Iz


2º teorema de Mhor:
La flecha en uno de los puntos indicados antes es igual al momento del area A respecto de ese punto dividido por E·Iz.

E = Modulo de elasticidad o modulo de Young
Iz = Momento de inercia de la seccion de la  viga 

martes, 19 de mayo de 2020

Ejemplo 02 Elastica de Viga en voladizo con carga uniforme




Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente



Viga AB en voladizo, empotrada en el extremo A y con carga uniforme q






a) La ecuacion diferencial de la elastica es fx” = M / Eiz

E = Modulo de eleasticidad o de Young del material
Iz=Momento de inercia de la seccion

y como el momento M = q x2 /2

podemos simplificar poniendo k= q/(2·E·Iz)

por lo que fx” = x2

b) Pasamos de la segunda derivada a la primera, integrando la funcion anterior:

fx= fx · x = x2 · x = k (x3 /3 + C1)

para encontrar C1 tenemos en cuenta que fx= 0 cuando x = L

con esto tenemos que (L)3 /3 + C1 = 0 por lo que C1 = - L3 / 3

asi que fx’’ = k(x3 /3 + L3 / 3)

c) Por ultimo para encontrar la funcion de la elastica integramos la primera derivada:

fx = fx= k( x3 /3 - L3 /3) = k(x4 /12 - L3 x /3 + C2 )

para encontrar C2 tenemos en cuenta que fx = 0 cuando x = L

L4 /12 - L3 L /3 + C2 =0 C2 = L4 /4

por lo que la ecuacion de la elastica sera:

k(x4 /12 - L3 x /3 + L4 /4 ) = q/(2·E·Iz) (x4 /12 - L3 x /12 + L4 /12)

f = q / (24 E Iz) · ( x4 - 4 L3 x + 3·L4)

d) A partir de esta ecuacion podemos calcular la flecha en cualquier punto x de la viga, por ejemplo, en la punta del voladizo que seria el punto de flecha maxima: para x= 0 f = fmax

fmax = q/(2·E·Iz) (x4 /12 - L3 x /12 + L4 /12) = q / (24 E Iz) · ( L4 /12 ) = q L 4/ (8 E Iz)
f= q L 4/ (8 E Iz)

jueves, 7 de mayo de 2020

Curvatura y elastica de una viga flexionada



Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente


Curvatura y elastica en flexion




CURVATURA:

Por efecto del momento M la fibra se alargara s = s1sֽque corresponde a un alargamiento unitario ε = s/nn1 (grafico a)

Por semejanza de los triangulos onn1 ~ n1s1s’ tenemos que : s/nn1 = y/r

Consideremos ahora una porcion infinitesimal de la seccion A donde esta aplicada una fuerza infinitesimal F (grafico b)

(Por la ley de Hook L = Fuerza · L ongitud/ E · Area)

tenemos que ε = F· 1 / E · A (E = modulo de Young)

por lo que: F· 1 / E · A = y / r F = (y·E/r) A

y el momento de las fuerzas en toda la seccion sera: M = y F = (y2 · E/r) A

M = (E/r) y2 · A = E·Iz/r
y2 · A = Mom de inercia Iz

por lo que la curvatura sera: 1/r = M/(EIz)

ELASTICA:

tan θ = s / r θ = s / r 1/r = θ / s

Por semejanza de triangulos: x / r = f / x 1/r = (f / x) / x = 2f / x2

y como 1/r = M/(EIz) La ecuacion diferencial de la elastica es 2f / x2 = M / Eiz

y tambien se puede escribir asi fx” = M / Eiz

Elastica de viga cargada uniformemente



Curvatura y elastica

Elastica de una vida cargada uniformemente


Ecuacion de la elastica de viga apoyada en sus extremos con carga uniforme

Elastica de viga cargada uniformemente


a) La ecuacion diferencial de la elastica es fx” = M / Eiz

y como el momento M = q L x /2 – q x2 /2 = q/2 (Lx – x2)

podemos simplificar poniendo k= q/(2·E·Iz)

por lo que fx” = (Lx – x2)

b) Pasamos de la segunda derivada a la primera, integrando la funcion:

fx’= fx · x = (Lx – x2) · x = k(L x2 /2 - x3 /3 + C1)

para encontrar C1 tenemos en cuenta que fx’= 0 cuando x = L/2

con esto tenemos que k(L (L/2)2 /2 - (L/2)3 /3 + C1) = 0

por lo que L3 /8 - L3 /24 + C1 = 0 C1 = L3 /12

asi que fx’= k(L x2 /2 - x3 /3 + L3 /12)

c) Por ultimo para encontrar la funcion de la elastica integramos la primera derivada:


fx’ = fx’= k(L x2 /2 - x3 /3 - L3 /12) = k(L x3 /6 - x4 /12 - L3 x /12 + C2 )

para encontrar C2 tenemos en cuenta que f = 0 cuando x = 0 C2 = 0

por lo que la ecuacion de la elastica sera: f = q / (24 E Iz) · (2 L x3 - x4 - L3 x )

d) A partir de esta ecuacion podemos calcular la flecha en cualquier punto x de la viga, por ejemplo, en el centro que seria el punto de flecha maxima: para x= L/2 f = fmax

fmax = q / (24 E Iz) · (2 L (L/2 )3 - (L/2) 4 - L3 L/2 ) = q / (24 E Iz) · (L 4 /4 - L4/16 - L4 /2 ) =
q L 4/ (24 E Iz) · (1/4 - 1/16 - 1 /2 ) = q L 4/ (48 E Iz) · (1/2 - 1/8 - 1 ) =
- q L 4/ (48 E Iz) · (1/8 + 1/2 ) = - q L 4/ (48 E Iz) · (10/16 ) = - 5q L4/ (384 E Iz)
f= 5q L4/ (384 E Iz)