Zapata de cimiento cuadrada, bajo el nivel freático, en el terreno se realiza
un ensayo de resistencia a la penetración estandar con estos resultados:
Profundidad Nf
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m pies golpes/30cm.
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1.52 5 6
3.05 10 8
4.57 15 8
6.10 20 12
7.62 25 7
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Calcular las dimensiones
Los resultados se darán en unidades métricas (SI) e inglesas
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Carga admisible bruta Q.adm = 533.76 kN = 120 lb³
Profundidad de la zapata z = 1.52 m = 5 pies
Profundidad del nivel freático z.n.f = 0.30 m = 1 pies
Terreno sobre el nivel freático:
Peso específico p.e = 18.86 kN/m³ = 120 lb/pie³
Terreno bajo el nivel freático:
Peso espec.ifico saturado p.e.sat = 19.49 kN/m³ = 124 lb/pie³
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lo primero que hacemos es calcular el ángulo de rozamiento: para ello se corrigen los números
Nf del ensayo de penetración de campo con la fórmula de Liao-Whitman: Ncorr = Nf*sqr(1/p.t.p)
donde sqr() significa raiz cuadrada y p.t.p es la presión del terreno sobre el plano considerado.
En esta fórmula la presión del terreno debe darse en Ton(US)/pie² (toneladas americanas por pié²)
1 Ton(US) = 2000 libras = 2000*4.448/1000 kN = 8.896 kN
1 Ton(US)/pié^2 = 95.76 kN/m2
En el SI el peso específico del agua es de 9.81 kN/m3 y en unidades inglesas: 62.4 lb/pié^3
Calculamos la presión en cada estrato del ensayo, para corregir el valor de Nf de campo:
En los niveles donde la profunidad d(m) sea mayor que el nivel freatico z.n.f, el peso
especifico corregido sera p.e.c=p.e.sat - 9.81 = 19.49- 9.81 = 9.68 kN/m^3
Estrato que contiene el nivel freático:
p.t.p(1)=p.t.p(0) + (z.n.f-d(0))*p.e + (d(1)-z.n.f)*p.e.c =
0.00 + ( 0.30- 0.00)*18.86 + ( 1.52- 0.30)* 9.68 = 17.56 kN/m² = 17.56/95.76 Ton(US)/pie²
Ncorr=N(m)*sqr(1/(p.t.p(m)/95.76)) = Ncorr (1) = 6 * sqr(1/17.56/95.76) = 15
Estrato debajo del nivel freático:
p.t.p(2)=p.t.p(1) + (d(2)-d(1))*p.e.c = 17.56 + 3.05- 1.52* 9.68 = 32.31 kN/m² = 32.31/95.76 Ton(US)/pie²
Ncorr=N(m)*sqr(1/(p.t.p(m)/95.76)) = Ncorr (2) = 8 * sqr(1/32.31/95.76) = 14
Estrato debajo del nivel freático:
p.t.p(3)=p.t.p(2) + (d(3)-d(2))*p.e.c = 32.31 + 4.57- 3.05* 9.68 = 47.07 kN/m² = 47.07/95.76 Ton(US)/pie²
Ncorr=N(m)*sqr(1/(p.t.p(m)/95.76)) = Ncorr (3) = 8 * sqr(1/47.07/95.76) = 12
Estrato debajo del nivel freático:
p.t.p(4)=p.t.p(3) + (d(4)-d(3))*p.e.c = 47.07 + 6.10- 4.57* 9.68 = 61.82 kN/m² = 61.82/95.76 Ton(US)/pie²
Ncorr=N(m)*sqr(1/(p.t.p(m)/95.76)) = Ncorr (4) = 12 * sqr(1/61.82/95.76) = 15
Estrato debajo del nivel freático:
p.t.p(5)=p.t.p(4) + (d(5)-d(4))*p.e.c = 61.82 + 7.62- 6.10* 9.68 = 76.58 kN/m² = 76.58/95.76 Ton(US)/pie²
Ncorr=N(m)*sqr(1/(p.t.p(m)/95.76)) = Ncorr (5) = 7 * sqr(1/76.58/95.76) = 8
Con estos valores de N corregidos, los sumamos y obtenemos S.N.corr, y calculamos su valor promedio:
N.corr.p=S.Ncorr/5 = 64/5 = 12.8 = 13
y aplicando la fórmula de Hatanaka y Uchida:
a.r=sqr(20*a)+20 = sqr(20*13)+20 = 37 grados
La presión admisible es q.adm = Q.adm/B^2 = 533.76/B^2 kN/m²
Utilizando la ecuación de Meyerhof, para c (cohesión) = 0
La ecuación completa de Meyerhof es esta:
qu=c*Nc*Fcs*Fcd*Fci + q*Nq*Fqs*Fqd*Fqi + y*B*Fys*Fyd*Fyi
En esta ecuación c es la cohesión; q es la presión al nivel considerado; y es
el peso específico del suelo (se descuenta el p.e. del agua si esta saturado),
el resto de factores son coeficientes de forma (s), profundidad (d) e inclinación (i)
Los coeficientes N son los de Terzaghi-Vesic.
En este caso se elimina el primer término por ser c=0 y algunos coeficientes (=1)
qu/F = q.adm = Q.adm/B^2 = (q*Nq*Fqs*Fqd + (p.e.sat-9.81)*B*Ny*Fys*Fyd/2)/3
En la igualdad anterior ha de tenerse en cuenta que las unidades deben ser
unidades inglesas
e = 2.718281828459 pi=3.141592:
El angulo de rozamiento a.r en radianes es a = a.r*pi/180 = 37*pi/180 = 0.65 radianes
Nq = (tan(pi/4 + a/2))^2 * e^(pi*tan(a)) = 42.92
Nc = (Nq-1)*(1/tan(a)) = 55.63
Ny = 2*(Nq+1)*tan(a) = 66.19
Fqs = 1+(B/L)*tan(a) = 1.75
Fys = 1-0.4*(B/L) = 0.60
Fyd = 1.00
Fqd = 1 + 2*tan(a) * ((1-sin(a))^2) * 4/B
Para simplificar ponemos :
k=2*tan(a)*((1-sin(a))^2)*4 = 2* 0.75*((1- 0.60)^2)*4 = 0.96
Fqd = 1 + k/B = 1 + 0.96/B
La presión inicial tiene este valor: q=z.n.f*p.e+(z-z.n.f)*(p.e.sat-9.81) =
0.30*18.86+( 1.52- 0.30)*(19.49-9.81) = 17.56 kN/m² = 366.65 lb/pie^2
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Ahora resolvemos la ecuación de Meyerhof
Q.adm/B^2 = (q*Nq*Fqs*Fqd + (p.e.sat-9.81)*B*Ny*Fys*Fyd/2)/3
Para simplificar hacemos t=q*Nq*Fqs = 17.56*42.92* 1.75/3 = 440.41
y también r=(p.e.sat-9.81)*Ny*Fys*Fyd/2/3 = (19.49-9.81)66.19* 0.60* 1.00/2/3) = 64.09
Por lo que la ecuación de Meyerhof quedará así:(t*(1 +k/B) + r*B)/3 = Q.adm/B^2
( 440.41*(1 + 0.96/B) + 64.09*B)/3 = 533.76/B^2 (presión admisible)
y esta ecuación se resuelve con t, r y Q.adm en unidades inglesas:
q*Nq*Fqs = t = t/0.04788 = 440.41/0.04788 = 9198.2 lb/pie^2
(p.e.sat-9.81)*Ny*Fys*Fyd/2 = r = r/0.1572 = 64.09/0.1572 = 407.7 lb/pie^3
Q.adm= 1000*Q.adm/4.448 = 1000* 533.76/4.448 = 120000.0 lb
( 9198.2*(1 + 0.96/B) + 407.71*B) = 120000.0/B^2
esta ecuación se resuelve por tanteo o por recursión con una rutina como esta,
b=0.7
do
rem t*(1 +k/b) + r*b = Q.adm/B^2
b.a=b
B=sqr(Q.adm*3/(t*(1 +k/b) + r*b))
b=B
loop until abs(B-b.a)<0.05
que asegura un error inferior a 0.05 piés
El lado de la zapata será = 3.00 piés = 0.91 m
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