Cúpulas geodésicas.

Cúpulas geodésicas

Estas cúpulas fueron inventadas por el arquitecto B Fuller y son especialmente útiles para cubrir grandes espacios además de presentar propiedades geométricas que las hacen practicas a efectos estructurales.

Estas cúpulas se basan en la semiesfera como envolvente y todos sus nudos son puntos de la esfera o muy próximos a estos.

Para obtener estos nudos partimos de un poliedro regular y proyectamos sus nudos sobre la esfera así obtenemos los nudos de la cúpula.

Un poliedro especialmente útil para esta construcción es el icosaedro pues tiene todos sus lados iguales y ángulos todos iguales entre sus aristas y caras, además las caras son triángulos.

Icosaedro

Lo primero que debemos hacer es coger cada una de las caras y dividirla en tantos triángulos como queramos, cuantos mas triángulos tengamos mas nos aproximaremos a una cúpula esférica:

Triangulación

La denominación de 2V, 3V o 4V se refiere al numero de subdivisiones en horizontal de cada triángulo.

Es interesante observar que el 2V tiene 4 triángulos: 2 x 2= 4; el 3V tiene 9 triángulos 3 x 3 =9, y el 4V tiene 16 triángulos 4 x 4 = 16 y así sucesívamente.

Una vez proyectemos esos vértices en la esfera tendremos estas cúpulas geodésicas:

Cúpulas geodésicas

Las esferas geodésicas completas tendrían esta apariencia:

Esferas geodésicas completas

Veamos en primer lugar las coordenadas de los vértice del icosaedro apoyado sobre una arista del que partimos para la formación de las cúpulas:

Coordenadas de los vértices del icosaedro

(Otras posibilidades serian colocar el icosaedro apoyado en un vertice o en una cara)

Si cogemos una cara cualquiera, por ejemplo la cara AIE, tendremos:

Formulas para los vértices intermedios

para el resto de caras bastará con sustituir las coordenadas de sus tres vértices por las apropiadas y hacer las combinaciones lineales correspondientes para los vértices intermedios con ellas.

Estas formulas se deducen fácilmente del propio dibujo, por ejemplo el vértice v3 sera combinación lineal de los vértices extremos v0 y v2, con coeficientes que son el cociente entre el nº de triángulos al lado opuesto a cada vértice (=3 para v0 pues hay 3 triángulos entre v3 y v2; =1 para v2  pues hay un triángulo entre v3 y v0) dividido por el nº de triángulos total en la arista v0v2 = 4. La misma mecánica se puede emplear si son mas de 4 triángulos.

Como conocemos las coordenadas de los vértices extremos, podemos calcular fácilmente las coordenadas de todos los vértices intermedios.

Coordenadas de los vértices intermedios

Y como tenemos que :

tendremos las siguientes coordenadas:

Coordenadas de los vértices de cada triángulo

Estas son las coordenadas de los vértices o nudos de la triangulación en que hemos dividido cada una de las caras del icosaedro. Ahora solo quedará proyectar esos puntos sobre la esfera, para ello calculamos el radio o distancia de esos puntos al centro de la esfera:

r= sqr(x^2+y^2+z^2)

y las proyecciones sobre la esfera serán:

X=x/r : Y=y/r : Z=z/r

(Para mas información ver articulo “Geodesic Domes” de Tom Davis
 http://www.geometer.org/mathcircles